Question

【题目】等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．

（1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO

（2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标

（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（﹣2，﹣3）（3）OP的长度不会发生改变，9

【解析】

（1）根据同角的余角相等得出结论即可；

（2）先过点B作BD⊥y轴于D，再判定△CDB≌△AOC（AAS），求得BD=CO=2，CD=AO=5，进而得出OD=5-2=3，即可得到B点的坐标；

（3）先过N作NH∥CM，交y轴于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH=AQ，HN=QC，然后根据点C（0，3），S△CQA=18，求得AQ=12，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出，即可求得CP=3+6=9（定值）．

解：（1）如图1，

∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，

∴∠BCO+∠ACO＝90°＝∠CAO+∠ACO，

∴∠BCO＝∠CAO；

（2）如图2，过点B作BD⊥y轴于D，则∠CDB＝∠AOC＝90°，

在△CDB和△AOC中，

，

∴△CDB≌△AOC（AAS），

∴BD＝CO＝2，CD＝AO＝5，

∴OD＝5﹣2＝3，

又∵点B在第三象限，

∴B（﹣2，﹣3）；

（3）OP的长度不会发生改变．

理由：如图3，过N作NH∥CM，交y轴于H，则

∠CNH+∠MCN＝180°，

∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，

∴∠MCQ+∠ACN＝180°，

∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，

∴∠CNH＝∠ACQ，

又∵∠HCN+∠ACO＝90°＝∠QAC+∠ACO，

∴∠HCN＝∠QAC，

在△HCN和△QAC中，

，

∴△HCN≌△QAC（ASA），

∴CH＝AQ，HN＝QC，

∵QC＝MC，

∴HN＝CM，

∵点C（0，3），S△CQA＝18，

∴×AQ×CO＝18，即×AQ×3＝18，

∴AQ＝12，

∴CH＝12，

∵NH∥CM，

∴∠PNH＝∠PMC，

∴在△PNH和△PMC中，

，

∴△PNH≌△PMC（AAS），

∴CP＝PH＝CH＝6，

又∵CO＝3，

∴CP＝3+6＝9（定值），

即OP的长度始终是9．