Question

【题目】如图，矩形中，，点是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点．若是的中点，则的长是________．

Answer 1

【答案】10.5

【解析】

根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD．

∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=12，
∴CG=DG=CD=AB =×12=6，
在△DEG和△CFG中，

，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE=CF，EG=FG，
设DE=，
则BF=BC+CF=AD+CF=，
在Rt△DEG中，

EG=，
∴EF=2 EG=2，

∵FH垂直平分BE，
∴BF=EF，
∴2，

解得，
∴AD=AE+DE，
∴BC=AD=10.5．
故答案为：10.5．