Question

【题目】在中，，点是直线上一点(不与重合)，以为一边在的右侧作，使，，连接．

(1)如图1，当点在线段上时．如果，则__________．

(2)设，．

①如图2，当点在线段上移动时，之间有怎样的数量关系？请说明理由．

②当点在直线上移动时，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

Answer 1

【答案】（1）90°．（2）①α+β=180°，理由见解析；②当点D在射线BC上时，α+β=180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β

【解析】

（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；

（2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；

（3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况．

（1）90°．

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，

∴∠BCE=∠B+∠ACB，

又∵∠BAC=90°，

∴∠BCE=90°；

（2）①α+β=180°，

理由：

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，

∴∠B+∠ACB=β，

∵α+∠B+∠ACB=180°，

∴α+β=180°；

②当点D在射线BC上时，α+β=180°；

如图：

理由：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE，

∵在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，

∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，

∴α+β=180°；

当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β；

如图：

理由：∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAB=∠EAC，

∵在△ADB和△AEC中，

,

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，

∴∠BAC=∠BCE，
即α=β．