Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，点D在AB上，且BD=2AD，连接CD，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，连接BE，DE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）求线段DE的长度．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】分析：(1)先根据旋转的性质，由线段CD绕点C逆时针旋转90°，于是可得∠ACD=∠BCE,然后根据SAS即可得到△ACD≌△BCE;(2)先在RT△中利用勾股定理求出AB=6,由BD=2AD得到AD=2,BD=4,再证明∠DBE=90°,BE=2,然后在RT△BDE中利用勾股定理即可求出DE的长度.

详解：（1）证明：∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，

∴CD=CE，∠DCE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD，

即∠ACD=∠BCE．

在△ACD与△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，

∴AB=6．

∵BD=2AD，

∴AD=2，BD=4．

由（1）可知△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠A=45°，BE=AD=2，

∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°．

∵在Rt△BDE中，∠DBE=90°，

∴DE2=BE2+BD2，

∴DE==2．

点睛:本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识.