Question

【题目】如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.

（1）求证：CF=EB．

（2）若AF=2,EB=1,求AB的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4

【解析】（1）由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DE=DC，再由BD=DF，利用HL得到三角形FCD与三角形BDF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；

（2）利用AAS得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证．

（1）证明：∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB

∴ DC=DE

∵ BD=DF

∴Rt△DCF≌Rt△DEB

∴CF=EB

（2）解：由（1）知CF=EB=1

∴AC=AF+FC=3

又∵Rt△ACD≌Rt△AED(HL或AAS)

∴AC=AE=3

∴AB=AE+EB=3+1=4

“点睛“此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．