Question

【题目】如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是 上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；
（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵AB是直径，AB⊥CD，

∴ ．

∴∠COB=∠DOB= ∠COD．

又∵∠CPD= ∠COD，

∴∠CPD=∠COB

（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．

理由如下：连接OD，

∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB= ∠COD，

又∵∠CPD= ∠COD，

∴∠COB=∠CPD，

∴∠CP′D+∠COB=180°．

【解析】（1）根据垂径定理知，弧CD=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠BOC的度数，弧AD的度数等于∠CPD的2倍，可得：∠CPD=∠COB；（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°﹣∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆心角、弧、弦的关系的相关知识，掌握在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．