Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB= =5．

∵AD=5t，CE=3t， ∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；

∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1

（2）解：∵EF=BC=4，G是EF的中点，

∴GE=2．

当AD＜AE（即t＜ ）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，

若△DEG与△ACB相似，则 或 ，

∴ 或 ，

∴t= 或t= ；

当AD＞AE（即t＞ ）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，

若△DEG与△ACB相似，则 或 ， ∴ 或 ，

解得t= 或t= ；

综上所述，当t= 或 或 或 时，△DEG与△ACB相似

【解析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再根据点D的运动速度及AD=AB，求出t的值，然后根据点E的运动速度求出AE的长，从而可求出DE的长。
（2）根据EF=BC=4，G是EF的中点，求出GE的长，要证明△DEG与△ACB，分两种情况：DE:EG=BC:AC或DE:EG=AC:BC，根据这些线段成比例，即可求出t的值（注意点D的运动过程中，要分两种情况：AD＜AE和AD＞AE）。