Question

【题目】综合与实践：

问题情境：

在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动.变换条件如下：如图 1，直线 AB，AC，BC 两两相交于 A，B，C 三点，得知△ABC是等边三角形，点 E 是直线 AC 上一动点（点 E 不与点 A，C 重合），点 F 在直线 BC上，连接 BE，EF，使 EF=BE．

独立思考：

（1）张老师首先提出了这样一个问题：如图 1，当E是线段 AC 的中点时，确定线段 AE与 CF 的数量关系，请你直接写出结论：AE____ CF（填“＞” “＜”或“=”）.

提出问题：

（2）“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段 AC 上的任意一点，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图 2，过点 E作 ED∥BC，交 AB 于点 D. （请你补充完整证明过程）

拓展延伸：

（3）“缜密”小组提出的问题是：动点E的运动位置如图3，图4所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段AE与CF的数量关系是否发生变化？ 请你选择其中一种予以证明.

（4）“爱心”小组提出的问题是：若等边△ABC 的边长为 ，AE=1，则BF 的长为__________.（请你直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）见解析；（3）没有发生变化；证明见解析；（4）或

【解析】

（1）根据等边三角形性质和三线合一得到AE=CE，∠EBC=30°，∠ECB=60°，根据等边对等角可知∠EFC=∠EBC=30°，根据三角形外角性质得到∠ECB=∠EFC+∠FEC，进而求出∠FEC，根据等角对等边得到CE=CF，再利用等量代换即可解决问题.

（2）根据等边三角形的性质和平行线的性质得到△ADE是等边三角形，进而可知BD=CE，根据等边对等角可知∠EFC=∠EBC，根据三角形外角性质得到∠EFC+∠CEF=60°，结合∠DBE+∠EBC=60°，进而证得∠DBE=∠CEF，利用SAS证得△DBE≌△CEF，利用全等三角形的性质得到CF=DE，即可得证；

（3）作出图3，过点E作ED∥AB，交BF于点D，同（2）中方法证明△BED≌△FEC，即可得证；作出图4，过点E作ED∥BC，交BA于点D，同（2）中方法证明△BED≌△EFC，即可得证；

（4）根据前面的证明可知，当点E在AC延长线上时，BF=BC+CF；当点E在AC上时，BF=BC+CF；当点E在CA延长线上时，BF=BC-CF；再结合CF=AE即可求得BF.

（1）AE=CF

证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，点E是AC中点

∴AE=CE，∠EBC=30°，∠ECB=60°

∵EF=BE

∴∠EFC=∠EBC=30°

∵∠ECB=∠EFC+∠FEC

∴∠FEC=30°

∴CE=CF

∴AE=CF

故答案为：＝

（2）

该结论论仍然成立，理由如下：如图 2，过点 E作 ED∥BC，交 AB 于点 D.

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC

∵ED∥BC，

∴∠ADE=∠AED=60°

∴△ADE是等边三角形

∴AD=AE=DE

∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE

∵BE=EF

∴∠EBC=∠EFC

∵∠DBE+∠EBC=60°

∠EFC+∠CEF=60°

∴∠DBE=∠CEF

∴△DBE≌△CEF（SAS）

∴CF=DE

∴CF=AE

（3）如图3所示

线段AE与CF的数量关系没有发生变化，

证明：过点E作ED∥AB，交BF于点D

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC

∵ED∥AB，

∴∠AED=∠BAC=60°，∠CDE=∠ABC=60°

∴△ADE是等边三角形

∴CD=DE=CE

∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE

∵BE=EF

∴∠EBC=∠DFE

∵∠CBE+∠CEB=∠ACB=60°

∠DEF+∠DFE=∠CDE=60°

∴∠BEC=∠DEF

∴∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED

即∠BED=∠CEF

∴△BED≌△FEC（SAS）

∴BD=CF

∵BD=BC+CD=AC+CE=AE

∴CF=AE

如图4所示，

线段AE与CF的数量关系没有发生变化，

证明：过点E作ED∥BC，交BA于点D

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC

∵ED∥BC，

∴∠AED=∠ACB=60°，∠EDA=∠ABC=60°

∴△ADE是等边三角形

∴AE=ED=AD

∴AB+AD=AC+AE，即BD=CE

∵BE=EF

∴∠EBC=∠EFB

∵∠EBA+∠ABC=∠EBC

∠FEC+∠ACB=∠EFB

∴∠EBA=∠FEC

∴△BED≌△EFC（SAS）

∴ED=FC

∴CF=AE

（4）当点E在AC延长线上时，

∵BF=BC+CF，CF=AE

∴BF=BC+AE=

当点E在AC上时，

∵BF=BC+CF，CF=AE

∴BF=BC+AE=

当点E在CA延长线上时，

∵BF=BC-CF，CF=AE

∴BF=BC-AE=

综上所述，BF=或

故答案为：或