Question

【题目】如图，一次函数y=k1x﹣1的图象经过A（0，﹣1）、B（1，0）两点，与反比例函数y= 的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为1．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）x轴上是否存在点Q，使△QBM∽△OAM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，过点M作MN⊥x轴于点N，

∵一次函数y=k1x﹣1的图象经过A（0，﹣1）、B（1，0）两点，

∴0=k1﹣1，AO=BO=1，

解得：k1=1，

故一次函数解析式为：y=x﹣1，

∵△OBM的面积为1，BO=1，

∴M点纵坐标为：2，

∵∠OAB=∠MNB，∠OBA=∠NBM，

∴△AOB∽△MNB，

∴ = = ，

则BN=2，

故M（3，2），

则xy=k2=6，

故反比例函数解析式为：y=

（2）

解：如图2，过点M作PM⊥AM，垂足为M，

∵∠AOB=∠PMB，∠OBA=∠MBP，

∴△AOB∽△PMB，

∴ = ，

由（1）得：AB= = ，BM= =2 ，

故 = ，

解得：BP=4，

故P（5，0）

（3）

解：如图3，∵△QBM∽△OAM，

∴ = ，

由（2）可得AM=3 ，

故 = ，

解得：QB= ，

则OQ= ，

故Q点坐标为：（ ，0）．

【解析】（1）利用已知点B坐标代入一次函数解析式得出答案，再利用△OBM的面积得出M点纵坐标，再利用相似三角形的判定与性质得出M点坐标即可得出反比例函数解析式；（2）过点M作PM⊥AM，垂足为M，得出△AOB∽△PMB，进而得出BP的长即可得出答案；（3）利用△QBM∽△OAM，得出 = ，进而得出OQ的长，即可得出答案．
【考点精析】通过灵活运用反比例函数的性质和相似三角形的性质，掌握性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形即可以解答此题．