Question

【题目】如图，C为线段AE上一动点(不与A、E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.其中完全正确的是___________.

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】试题解析：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，

∴AC=BC,EC=DC,∠BCE=∠ACD=

∴△ACD≌△ECB

∴AD=BE，故本选项正确；

②∵△ACD≌△ECB

∴∠CBQ=∠CAP，

又∵∠PCQ=∠ACB=CB=AC，

∴△BCQ≌△ACP，

∴CQ=CP,又∠PCQ=

∴△PCQ为等边三角形，

∴∠QPC==∠ACB，

∴PQ∥AE，故本选项正确；

③∵∠ACB=∠DCE=

∴∠BCD=

∴∠ACP=∠BCQ，

∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，

∴△ACP≌△BCQ(ASA)，

∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；

④已知△ABC、△DCE为正三角形，

故∠DCE=∠BCA=∠DCB=

又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA,∠BCA=60∠DPC>

故DP不等于DE，故本选项错误；

⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，

∴∠ACB=∠DCE=AC=BC，DC=EC，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴∠CAD=∠CBE，

∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，

∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=

∴∠AOB=

故本选项正确.

综上所述，正确的结论是①②③⑤.

故答案为：①②③⑤.