Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．

（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）；（3）M坐标为（，）或（﹣，）．

【解析】

（1）点A（2，0）、点B（-4，0），则函数的表达式为：y=a（x-2）（x+4）=a（x2+2x-8），即可求解；

（2）PE=OD，则PE=（x2+x-2-x+2）=（-x），求得：点D（-5，0），利用S△PBE=PE×BD=（x2+x-2-x+2）（-4-x），即可求解；

（3）分两种情况求解即可：①当BD＝BM时，②当BD＝DM（M′）时．

（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0），

则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），

把点C（0，-2）代入得：﹣8a＝﹣2，解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；

（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：

直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则tan∠ABC＝，则sin∠ABC＝，

设点D（x，0），则点P（x，x2+x﹣2），点E（x，﹣x﹣2），

∵PE＝OD，OD＝﹣x，

∴PE＝（x2+x﹣2+x+2）＝x2+x，

即x2+x=-x，

解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），

即点D（﹣5，0），

S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2+x+2）（﹣4﹣x）＝；

（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，

①当BD＝BM时，过点M作MH⊥x轴于点H，

BD＝1＝BM，

则MH＝yM＝BMsin∠ABC＝1×＝，

则xM＝，

故点M（，）；

②当BD＝DM（M′）时，

同理可得：点M′（﹣，）；

故点M坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）．