Question

【题目】如图，对称轴为的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点坐标为设抛物线的顶点为．

求抛物线的解析式及顶点坐标；

为轴上的一点，当的周长最小时，求点的坐标及的周长．

Answer 1

【答案】（1），顶点；（2），的周长最小值．

【解析】

（1）根据题意得出方程组，求出b和c的值，得出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标；

（2）求出C（0，3），得出C点关于x轴的对称点C′（0，﹣3），连接C′D交x轴于M，则△MCD的周长最小，由待定系数法求出直线C′D的解析式，即可得出M（，0），过D作DE⊥y轴于E，得出DE=1，CD=1，C′E=7，由勾股定理求出CD=，C′D=5，即可得出△MCD的周长最小值．

（1）根据题意得：，解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y═﹣x2+2x+3，当x=1时，y=﹣1+2+3=4，∴顶点D（1，4）；

（2）当x=0时，y=3，∴C（0，3），∴C点关于x轴的对称点C′（0，﹣3），连接C′D交x轴于M，则△MCD的周长最小，CM=C′M，设直线C′D的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，∴k=7，∴y=7x﹣3，当y=0时，7x﹣3=0，解得：x=，∴M（，0），过D作DE⊥y轴于E．

∵C（0，3），D（1，4），∴DE=1，CD=1，C′E=7，∴CD=，C′D=5，∴△MCD的周长最小值=+5=6．