Question

【题目】如图所示，△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过点C作∠ACD=∠ABC，交BA的延长线于点D，若∠ABC=45°，∠D=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求 的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OA、OC．则∠AOC=2∠ABC=90°，

∵在△AOC中，OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=45°，

又∵∠ACD=45°，

∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=45°+45°=90°，

∴OC⊥CD．

即CD是⊙O的切线

（2）解：连接OB．

∵∠ABC=45°，∠D=30°，∠ACD=∠ABC=45°，

∴在△BCD中，∠BCD=180°﹣∠ABC﹣∠D=180°﹣45°﹣30°=105°，

∴∠ACB=∠BCD﹣∠ACD=105°﹣45°=60°，

∴∠AOB=2∠ACB=120°，

∴ 的长为： = ．

【解析】（1）证明：连接OA、OC，得到∠AOC=2∠ABC=90°，求得∠OCA=∠OAC=45°，于是得到OC⊥CD．由切线的判定定理即可得到结论；（2）连接OB．根据三角形的内角和得到∠ACB=∠BCD﹣∠ACD=105°﹣45°=60°，由圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°，根据弧长公式即可得到结论．
【考点精析】通过灵活运用三角形的外接圆与外心和切线的判定定理，掌握过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线即可以解答此题．