Question

【题目】如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC于点D．点P在边AB上运动，过点P作PE∥BC，与边AC交于点E，连接ED，以PE、ED为邻边作平行四边形PEDF．设线段AP的长为x（0＜x＜6）．

（1）求线段PE的长．（用含x的代数式表示）
（2）当四边形PEDF为菱形时，求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PE∥BC，

∴△APE∽△ABC，

又∵△ABC是等边三角形，

∴△APE是等边三角形，

∴PE=AP=x（0＜x＜6）；

（2）解：∵四边形PEDF为菱形，

∴PE=DE=x，

又∵△APE是等边三角形，则AE=PE，

∴AE=DE，

∴∠DAC=∠ADE，

又∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90°，

∴∠EDC=∠C，

∴DE=EC，

∴DE=EC=AE= AC= AB=3，

即x=3．

【解析】（1）由PE与BC平行，得到三角形APE与三角形ABC相似，根据三角形ABC为等边三角形，得到三角形APE为等边三角形，可得出PE=AP=x；（2）若四边形PEDF为菱形，得到PE=DE=x，由三角形APE为等边三角形得到AE=PE，可得出AE=DE，利用等边对等角得到∠DAC=∠ADE，利用等式的性质得到∠EDC=∠C，利用等角对等边得到DE=EC，即可求出x的值；
【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°，以及对菱形的性质的理解，了解菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．