Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2=AB·AD，我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．

（1）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB=∠DAB，则∠DAB=_________．

（2）如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且∠BCD=150°，求证：四边形ABCD为“可分四边形”；

（3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC=4，BC=2，∠D=90°，求AD的长?

图1 图2 图3

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】试题分析：(1)、根据“可分四边形”和“可分角”的定义得出答案；(2)、根据角平分线的性质得出∠DAC=∠CAB=30°，∠DCA=150°-∠ACB，然后根据角度之间的关系得出∠ADC=∠ACB，从而说明△ACD和△ABC相似，从而得出结论；(3)、根据“可分四边形”和“可分角”的性质得出∠DAC=∠CAB， ，从而说明△ACD和△ABC相似，根据相似得出∠ACB=∠D=90°，然后根据勾股定理求出AB的长度，结合得出AD的长度.

试题解析：（1）

（2）∵AC平分∠DAB，∠DAB=60° ∴∠DAC=∠CAB=30° ∵∠DCB=150°

∴∠DCA=150°-∠ACB

在△ADC中，∠ADC=180°- ∠DAC- ∠DCA =180°-30°-（150°-∠ACB）=∠ACB

∴△ACD∽△ABC ∴ ∴， 即证四边形ABCD为“可分四边形”

（3）∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”∴AC平分∠DAB，

即∠DAC=∠CAB， ∴△ACD∽△ABC ∴∠ACB=∠D=90°

在Rt△ACB中AB= ∵ ∴AD=