Question

【题目】如图1，线段BE上有一点C，以BC，CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC，DCE，连接AE，BD，分别交CD，CA于Q，P．

（1）找出图中的所有全等三角形．
（2）找出一组相等的线段，并说明理由．
（3）如图2，取AE的中点M、BD的中点N，连接MN，试判断三角形CMN的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：△BCD≌△ACE；△BPC≌△AQC；△DPC≌△EQC

（2）解：BD=AE．

理由：等边三角形ABC、DCE中，∵∠ACB=∠ACD=∠DCE=60°，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中， ，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴BD=AE．

（3）解：等边三角形．

理由：由△BCD≌△ACE，

∴∠1=∠2，BD=AE．

∵M是AE的中点、N是BD的中点，

∴DN=EM，又DC=CE．

在△DCN和△ECM中， ，

∴△DCN≌△ECM（SAS），

∴CN=CM，∠NCD=∠MCE，∠MCE+∠DCM=60°．

∴∠NCD+∠DCM=60°，即∠NCM=60°，

又∵CM=CN，

∴△CMN为等边三角形

【解析】（1）先观察图形那些三角形是全等的，然后结合题中条件去推理；（2）由等边三角形的性质推出边相等、角相等，由“SAS”推出全等（3）由第(1）问去等推出△DCN≌△ECM，再证∠NCM=60°即得证.
【考点精析】关于本题考查的等边三角形的性质，需要了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能得出正确答案．