Question

【题目】在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作□ECFG．

（1）如图1，证明□ECFG为菱形；

（2）如图2，若∠ABC=120°，连接BG、CG，求证△DGC≌△BGE，并求出∠BDG的度数；

（3）如图3，若∠ABC=90°，M是EF的中点，请直接写出∠BDM的度数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠BDG=60°；（3）∠BDM=45°

【解析】分析：（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；

（2）延长AB、FG交于H，连接HD，求证平行四边形AHFD为菱形，得出△ADH，△DHF为全等的等边三角形，证明△BHD≌△GFD，即可得出答案；

（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度数．

解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，

∴∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，

又∵四边形ECFG是平行四边形，

∴□ECFG为菱形．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD

∴∠BAD+∠ABC=180°，∠BCF=∠ABC,∠DAF=∠AEB,

∵∠ABC=120°，

∴∠BAD=60°，∠BCF=120°，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAE=30°，

∴∠BAF=∠BEA=30°，

∴AB=BE，

∴BE=CD，

∵四边形ECFG为菱形，且∠BCF=120°

∴△ECG，△GCF为全等的等边三角形，

∴GE=GC，∠GEC=∠GCE=60°，

∴∠BEG=∠DCG=120°，

∴△DGC≌△BGE（SAS），

∴∠BGE=∠DGC，BG=DG

∴∠BGD=∠BGE+∠EGD=∠DGC+∠EGD=60°，

∴△BGD是等边三角形，

∴∠BDG=60°；

（3）如图2，∠BDM=45°；

如图，连接BM，MC，

∵∠ABC=90，四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形，

又由(1)可知四边形ECFG为菱形，

∠ECF=90°，

∴四边形ECFG为正方形，

∵∠BAF=∠DAF，

∴BE=AB=DC，

∵M为EF中点,

∴∠CEM=∠ECM=45°，

∴∠BEM=∠DCM=135°，

在△BME和△DMC中，

∵，

∴△BME≌△DMC(SAS)，

∴MB=MD，

∠DMC=∠BME.

∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形，

∴∠BDM=45°.