Question

【题目】已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，交边AC于点G，连接CF.

(1)求证：；

(2)如果CF2＝FG·FB，求证：CG·CE＝BC·DE.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】分析: （1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及DE=EF即可证得；

（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得＝，∠FCE=∠CBF，然后根据平行线的性质证明∠FEG=∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则＝，即可证得＝，则所证结论即可得到.

详解:

(1)∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，

∴＝，＝.

又∵DE＝EF，

∴＝，

∴＝；

(2)∵CF2＝FG·FB，

∴＝.

又∠BFC＝∠CFG，

∴△BCF∽△CGF，

∴＝，∠FCE＝∠CBF.

又∵DF∥BC，

∴∠EFG＝∠CBF，

∴∠FCE＝∠EFG.

∵∠FEG＝∠CEF，

∴△EFG∽△ECF，

∴＝.

又∵EF＝DE，＝，

∴＝，即CG·CE＝BC·DE.