Question

【题目】如图，将等腰直角三角板放在正方形ABCD的顶点B处，且三角板中BE=EF．连AE，再作EG⊥AE且EG=AE．绕点B旋转三角板，并保证线段FG与正方形的边CD交于点H．

（1）求证：△ABE≌△GFE．
（2）当DH取得最小值时，求∠ABE的度数．
（3）当三角板有两个顶点在边BC上时，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在△ABE和△GFE中，

，

∴△ABE≌△GFE

（2）

解：∵△ABE≌△GFE，

∴∠BAE=∠BGN，

∵∠AMN=∠EMG，

∴∠ANM=∠MEG=90°，

∴MH⊥AB，

同理得，DH=AN，

要使DH最小，则BN最大，

∵BN≤BF，

∴当BF与BN重合时，AN最小，

∴∠ABE=∠FBE=45°

（3）

解：在△APE和△ECG中，

，

∴△APE≌△ECG，

∴GH=BF，

∴∠ECG=APE=135°

∴△HCG是等腰直角三角形，

∴HG=CH=FE，

∴ ，

∵FG=AB=BC，

∴HG=BF，

∴ ．

【解析】（1）由等腰直角三角板和正方形ABCD的特点，直接得到△ABE≌△GFE．（2）由△ABE≌△GFE得到的条件判断出MH⊥AB，再判断DH最小时的位置，即可；（3）由△APE≌△ECG得到结论，判断出△HCG是等腰直角三角形，即可求出结果．