Question

【题目】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE，CG．

（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，

∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，

又∵∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，

∴△ADE≌△CDG（SAS）．

∴AE=CG．

（2）猜想：AE⊥CG．

证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N．

∵△ADE≌△CDG，

∴∠DAE=∠DCG．

又∵∠ANM=∠CND，

∴△AMN∽△CDN．

∴∠AMN=∠ADC=90°．

∴AE⊥CG

【解析】（1）首先依据正方形的性质得到AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，然后再依据等式的性质证明∠CDG=∠ADE，接下来，依据SAS可证明△ADE≌△CDG，从而可得到AE=CG；
（2）由全等三角形的性质可得到∠DAE=∠DCG，然后可证明△AMN∽△CDN，最后，依据相似三角形对应角相等可得到∠AMN=∠ADC=90°．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正方形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．