Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+ x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意 ，

解得 ，

∴二次函数的解析式为y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：存在．如图1中，

∵C（0，2），D（ ，0），

∴CD= = ，

当CP=CD时，P1（ ，4），

当DP=DC时，P2（ ， ），P3（ ，﹣ ）．

综上所述，满足条件的点P坐标为（ ，4）或（ ， ）或（ ，﹣

（3）

解：如图2中，作CM⊥EF于M，

∵B（4，0），C（0，2），

∴直线BC的解析式为y=﹣ ，设E（a，﹣ +2），F（a，﹣ a2+ a+2），

∴EF=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ +2）=﹣ a2+2a，（0≤a≤4），

∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BDOC+ EFCM+ EFBN

= + a（﹣ a2+2a）+ （4﹣a）（﹣ a2+2a）

=﹣a2+4a+

=﹣（a﹣2）2+ ，

∴a=2时，四边形CDBF的面积最大，最大值为 ，

∴E（2，1）

【解析】（1）利用待定系数法转化为解方程组即可．（2）如图1中，分两种情形讨论①当CP=CD时，②当DP=DC时，分别求出点P坐标即可．（3）如图2中，作CM⊥EF于M，设E（a，﹣ +2），F（a，﹣ a2+ a+2），则EF=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ +2）=﹣ a2+2a，（0≤a≤4），根据S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BDOC+ EFCM+ EFBN，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．