Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，BC=2，D是线段BC上的一个动点，点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，则线段MN长的最小值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图，连接AM，AN，AD，

∵点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，

∴AM=AD=AN，

∴∠MAB=∠DAB，∠NAC=∠DAC，

∵∠BAC=45°，

∴∠MAN=90°，

∴△MAN是等腰直角三角形，

∴MN= AM，

∴当AM取最小值时，MN最小，

即AD取最小值时，MN最小，

∴当AD⊥BC时，AD最小，

过B作BH⊥AC于H，

∴AH=BH= AB，

∴CH=（1﹣ ）AB，

∵BH2+CH2=BC2，

∴（ AB）2+[（1﹣ ）AB]2=4，

∴AB2=4+2 ，

∴AD= ，

∴MN= ，

∴线段MN长的最小值是 ．

【考点精析】认真审题，首先需要了解轴对称-最短路线问题(已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径)．