Question

【题目】如图，矩形ABCD中AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从D以1cm/秒的速度移动，若P、Q同时出发，用t表示移动时间（0≤t≤6），求当t何值时，△APQ与△ABC相似？

Answer 1

【答案】解：由题意得：AP=2tcm，DQ=tcm，则AQ=（6﹣t）cm， ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
若△APQ与△ABC相似，则△APQ与△ABD相似；
分两种情况：
① 当 时，
即 ，
解得：t=3；
②当 时，
即 ，
解得：t= ．
综上所述：当t=3或t= 时，△APQ与△ABC相似
【解析】由矩形的性质和SAS证出△ABD≌△BAC，若△APQ与△ABC相似，则△APQ与△ABD相似；分两种情况：①当 时；②当 时；分别得出t的方程，解方程即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，以及对相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．