Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．

（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）

Answer 1

【答案】
（1）解：直线CD与⊙O相切，

∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，

又∵OB=OC，

∴△OBC是正三角形，

∴∠OCB=60°，

又∵∠BCD=30°，

∴∠OCD=60°+30°=90°，

∴OC⊥CD，

又∵OC是半径，

∴直线CD与⊙O相切．

（2）解：由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60°，

∵OC=1，

∴CD= ，

∴S△COD= OCCD= ，

又∵S扇形OCB= ，

∴S阴影=S△COD﹣S扇形OCB= ．

【解析】（1）由已知可证得OC⊥CD，OC为圆的半径所以直线CD与⊙O相切；（2）根据已知可求得OC，CD的长，则利用S阴影=S△COD﹣S扇形OCB求得阴影部分的面积．
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．