Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．点D在线段PQ上，且PD=PC．

（1）求证：PQ∥AB；
（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，

∴AC= =12，

∵ ， ，

∴

∵∠C=∠C，

∴△PQC∽△BAC，

∴∠CPQ=∠B，

∴PQ∥AB；

（2）解：如图，

连接AD，

∵PQ∥AB，

∴∠ADQ=∠DAB．

∵点D在∠BAC的平分线上，

∴∠DAQ=∠DAB，

∴∠ADQ=∠DAQ，

∴AQ=DQ．

在Rt△CPQ中，PQ=5x，

∵PD=PC=3x，

∴DQ=2x．

∵AQ=12﹣4x，

∴12﹣4x=2x，

解得x=2，

∴CP=3x=6．

【解析】（1）先用勾股定理求出AC，再用两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，得出△PQC∽△BAC，从而有∠CPQ=∠B即可；（2）先判断出AQ=DQ，再用勾股定理AQ，最后建立方程12﹣4x=2x，求解方程即可．
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．