Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．

（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；

（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．

Answer 1

【答案】（1）（2）2

【解析】试题分析：（1）由全等三角形的性质得到DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理求解即可；

（2）过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，得出ME=DF=，然后用梯形的中位线的性质定理求解即可．

试题解析：（1）∵△CDQ≌△CPQ，∴DQ=PQ，PC=DC，∵AB=DC=5，AD=BC=3，∴PC=5，在RT△PBC中，PB==4，∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，在RT△PAQ中，，解得x=，∴AQ=．

（2）如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，∵MD⊥MP，∴∠PMD=90°，∴∠PME+∠DMF=90°，∵∠FDM+∠DMF=90°，∴∠MDF=∠PME，∵M是QC的中点，根据直角三角形直线的性质求得DM=PM=QC，在△MDF和△PME中，∵∠MDF=∠PME，∠DFM=∠MEP，DM=PM，∴△MDF≌△PME（AAS），∴ME=DF，PE=MF，∵EF⊥CD，AD⊥CD，∴EF∥AD，∵QM=MC，∴DF=CF=DC=，∴ME=，∵ME是梯形ABCQ的中位线，∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，∴AQ=2．