Question

【题目】如图，已知抛物线y= x2﹣ x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点D是此抛物线上的点，点E是其对称轴上的点，求以A，B，D，E为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ACP是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得： x2﹣ x﹣2=0，解得x=﹣2或x=4，

∴A（4，0）、B（﹣2，0）．

把x=0代入抛物线的解析式得：y=﹣2，

∴C（0，﹣2）

（2）

解：由题意得，抛物线的对称轴为x=1，

如图1，当AB为对角线时，D1为抛物线的顶点，此时四边形ADBE为菱形，

∴AB=6，DE=|2k|= ，

故S平行四边形ADBE= ×6× =

当AB为边时，DE∥AB，且DE=AB，

只能在x轴上方，有两种情况，D2（﹣5， ）或D3（7， ）但面积相等，

S平行四边形ABDE=6× = ，

∴以点A，B，D，E为顶点的平行四边形的面积为 或

（3）

解：此抛物线的对称轴上存在点P，使得△ACP是等腰三角形，设P（1，a），

∴AP2=a2+9，CP2=（a+2）2+1=a2+4a+5，AC2=20，

①当AP=CP时，即：a2+9=a2+4a+5，

∴a=1，

∴P1（1，1）

②当AC=CP时，即：a2+4a+5=20，

∴a=﹣2± ，

∴P2（1，﹣2+ ），P3（1，﹣2﹣ ）

③当AC=AP时，即：a2+9=20，

∴a=± ，

∴P4（1， ），P5（1，﹣ ），

∴满足条件的点P的坐标为P1（1，1）、P2（1，﹣2+ ），P3（1，﹣2﹣ ）、P4（1， ），P5（1，﹣ ）．

【解析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）分以AB为边和为对角线两种情况，利用面积公式即可求出平行四边形的面积．（3）先设出点P的坐标，进而表示出AP．CP．AC，再按等腰三角形的边分成三种情况，建立方程求解即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)，还要掌握二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键．