Question

【题目】已知直线AB和CD交于O，∠AOC的度数为x，∠BOE＝90°OF平分∠AOD．

（1）当x＝20°时，则∠EOC＝_____度;∠FOD＝_____度.

（2）当x＝60°时，射线OE′从OE开始以10°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE转动一周时射线OF′也停正转动，求至少经过多少秒射线OE′与射线OF重合?

（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′ 转动的时间．

Answer 1

【答案】（1）70，80；（2）15秒；（3）当时，射线OE′ 转动的时间为秒或秒或秒或秒.

【解析】

（1）利用互余和互补的定义即可得；

（2）先根据求出的度数，再用的度数除以射线OE′转动的速度即可得；

（3）先求出射线转动一周所需的时间为36秒，根据题（2）得出的可知在整个转动过程中，射线和射线会重合两次，由此有四种情况：①在和第一次重合前；②在和第一次重合后，两射线共线前；③在和共线后，第二次重合前；④在和第二次重合后至停止；然后根据列方程求解即可.

（1）

又 OF平分

故答案为：70，80；

（2）由题（1）可知：

则

故当射线OE′与射线OF重合至少要经过的时间为秒；

（3）设当时，射线OE′转动的时间为t秒

由题意得：射线转动一周所需的时间为秒，在这个过程中，射线转动的角度为，由题（2）知，所以在整个转动过程中，射线和射线会重合两次，由此有以下四种情况：

①在和第一次重合前

依题意可列方程：

解得：（秒）

②在和第一次重合后，两射线共线前

依题意可列方程：

解得：（秒）

③在和共线后，第二次重合前

依题意可列方程：

解得：（秒）

④在和第二次重合后至停止

依题意可列方程：

解得：（秒）

经检验，四种情况下求出的t的值均小于36秒，符合题意

故当时，射线OE′ 转动的时间为秒或秒或秒或秒.