Question

【题目】如图，在ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F．
（1）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；
（2）求证：BE=DF．

Answer 1

【答案】
（1）解：全等三角形有：△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA，

理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

∵AC=AC，

∴△ABC≌△CDA（SSS）；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAF=∠BCE，

∵DF∥BE，

∴∠AFD=∠CEB，

即∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，AD=BC，

∴△AFD≌△CEB（AAS）；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠BAE=∠DCF，

∵DF∥BE，

∴∠AFD=∠CEB，

∴∠AEB=∠DFC（等角的补角相等），

即∠BAE=∠DCF，∠AEB=∠CFD，AB=CD，

∴△ABE≌△CDF；

（2）证明：∵由（1）知：△AFD≌△CEB，

∴BE=DF．

【解析】（1）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据SSS证出△ABC≌△CDA即可；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据AAS证出△AFD≌△CEB即可；求出∠AEB=∠DFC，∠BAE=∠DCF，根据AAS证出△ABE≌△CDF即可；（2）由△AFD≌△CEB推出即可．
【考点精析】关于本题考查的平行线的性质和平行四边形的性质，需要了解两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分才能得出正确答案．