Question

【题目】如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：

①AC=AB；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC是等边三角形；④AC=AO+AP．

其中正确的为（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

试题分析：①根据SAS定理得出△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质即可得出结论；

②利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；

③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；

④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP

解：∵△ABC中高AD恰好平分边BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD，

在∠ABD与△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SAS），

∴AB=AC．

故①正确；

如图1，连接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，

∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30°

∵OP=OC，

∴OB=OC=OP，

∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，

∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；

故②正确；

∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，

∴∠APC+∠DCP=150°，

∵∠APO+∠DCO=30°，

∴∠OPC+∠OCP=120°，

∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°，

∵OP=OC，

∴△OPC是等边三角形；

故③正确；

如图2，在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°，

∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，

∴∠APO+∠OPE=60°，

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，

∴∠APO=∠CPE，

∵OP=CP，

在△OPA和△CPE中，

，

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO=CE，

∴AC=AE+CE=AO+AP；

故④正确．

故选D．