Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．

（1）求证：△ACD≌△CBF；

（2）求证：AB垂直平分DF．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（1）根据∠ACB=90°，求证∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，求证∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可证明△ACD≌△CBF．

（2）先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∵CE⊥AD，

∴∠CAD=∠BCF，

∵BF∥AC，

∴∠FBA=∠CAB=45°

∴∠ACB=∠CBF=90°，

在△ACD与△CBF中，

∵，

∴△ACD≌△CBF；

（2）证明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，

∴∠BCE=∠CAE．

∵AC⊥BC，BF∥AC．

∴BF⊥BC．

∴∠ACD=∠CBF=90°，

在△ACD与△CBF中，

∵，

∴△ACD≌△CBF，

∴CD=BF．

∵CD=BD=BC，

∴BF=BD．

∴△BFD为等腰直角三角形．

∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴∠ABC=45°．

∵∠FBD=90°，

∴∠ABF=45°．

∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．

∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，

即AB垂直平分DF．