Question

【题目】如图，⊙O的直径AB=4，∠BAC=30°，AC交⊙O于D，D是AC的中点．
（1）过点D作DE⊥BC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求 与线段DE、BE围成的阴影面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD．

∵D是AC的中点，O是AB的中点，

∴DO是△ABC的中位线，

∴OD∥BC，则∠EDO=∠CED

又∵DE⊥BC，

∴∠CED=90°，

∴∠EDO=∠CED=90°

∴OD⊥DE

∴DE是⊙O的切线，

（2）连接BD

∵AB是直径

∴∠ADB=90°

∵∠BAC=30°，AB=4

∴∠BOD=2∠ABD=60°

∵OB=OD

∴△OBD是等边三角形

∴∠ODB=∠BOD=60°，OB=OD=BD=2

∵∠EDO=90°

∴∠BDE=30°

∴在Rt△BDE中 BE=1，DE=

∴S阴=S四边形ODEB﹣S扇形OBD= ﹣ = ﹣

答：阴影面积为 ﹣

【解析】（1）连接OD，易证DO是△ABC的中位线，从而可知OD∥BC，所以∠EDO=∠CED，由于DE⊥BC，从而可知DE是⊙O的切线；（2）连接BD，分别求出四边形OBED与扇形OBD的面积，然后即可求出阴影部分面积．