Question

【题目】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称____ ___，___ ；（2分）

（2）如图，已知格点（小正方形的顶点），，，请你直接写出所有以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形的顶点M的坐标。（3分）

（3）如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，．求证：，即四边形是勾股四边形．（4分）

Answer 1

【答案】（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）M（3，4）或M′（4，3）（3）证明见解析

【解析】（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）

（2）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）．

（3）证明：连接EC，

∵△ABC≌△DBE，

∴AC=DE，BC=BE，

∵∠CBE=60°，

∴EC=BC，∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=90°，

∴DC2+EC2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2．

即四边形ABCD是勾股四边形．

（1）只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形．

（2）OM=AB知以格点为顶点的M共两个：M（3，4）或M（4，3）．

（3）欲证明DC2+BC2=AC2，只需证明∠DCE=90度．