Question

【题目】已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.

（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为______________；

（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.

Answer 1

【答案】BD=BM

【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知BD=BM；

（2）先证明△MDE≌△MFC，得出AD=ED=FC，再作AN⊥EC于点N，证出△DBF是等腰直角三角形，根据点M是DF的中点，得出△BMD是等腰直角三角形，即可得出BD=BM．

（1）∵∠ABC=∠ADE=90°，

∴ED∥BC，

∴∠DEM=∠MCB，

在△EMD和△CMN中

∴△EMD≌△CMN（ASA），

∴CN=DE=DA，MN=MD，

∵BA=BC，

∴BD=BN，

∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线，

∴BM⊥DM，∠DBM=∠DBN=45°=∠BDM，

∴△BMD为等腰直角三角形．

∴BD=BM，

（2）结论成立．

证明：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，

可证得△MDE≌△MFC，

∴DM=FM，DE=FC，

∴AD=ED=FC，

作AN⊥EC于点N，

由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，

可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，

∵CF∥ED，

∴∠DEN=∠FCM，

∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，

∴△BCF≌△BAD，

∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，

∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，

∴△DBF是等腰直角三角形，

∵点M是DF的中点，

则△BMD是等腰直角三角形，

∴BD=BM．