Question

【题目】矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且DE=BF，∠ECA=∠FCA．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AB=8，BC=4，求菱形AFCE的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）20.

【解析】分析：（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再证明FA=FC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论；

（2）设DE=x，则AE=EC=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理列方程求得x的值，再求菱形的面积即可．

详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，DC=AB，

∵DE=BF，

∴EC=AF，

而EC∥AF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

由DC∥AB可得∠ECA=∠FAC，

∵∠ECA=∠FCA，

∴∠FAC=∠FCA，

∴FA=FC，

∴平行四边形AFCE是菱形；

（2）解：设DE=x，则AE=EC=8-x，

在Rt△ADE中，由勾股定理得

42+x2=(8-x)2，

解得x=3，

∴菱形的边长EC=8-3=5，

∴菱形AFCE的面积为：4×5=20．