Question

【题目】如图，菱形ABCD中，AB=1，∠A=60°，EFGH是矩形，矩形的顶点都在菱形的边上．设AE=AH=x（0＜x＜1），矩形的面积为S．

（1）求S关于x的函数解析式；

（2）当EFGH是正方形时，求S的值．

Answer 1

【答案】（1）矩形EFGH的面积为S=-x2+x（0＜x＜1）；（2）S=．

【解析】

（1）连接BD交EF于点M，根据菱形的性质得出AB=AD，BD⊥EF，求出△AEH是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AEH=∠ABD=60°，∠BEM=30°，BE=2BM，求出EM=BE，即可求出答案；

（2）根据正方形的性质求出x，再求出面积即可．

（1）连接BD交EF于点M，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∵AE=AH，

∴EH∥BD∥FG，BD⊥EF，

∵在菱形ABCD中，∠A=60°，AE=AH，

∴△AEH是等边三角形，

∴∠AEH=∠ABD=60°，∠BEM=30°，BE=2BM，

∴EM=BE，

∴EF=BE，

∵AB=1，AE=x，

∴矩形EFGH的面积为S=EH×EF=x×（1-x）=-x2+x（0＜x＜1）；

（2）当矩形EFGH是正方形时，EH=EF，

即x=（1-x），

解得：x=，

所以S=x2=（）2=．