Question

【题目】将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1,当点A1落在AC上时.

（1）如图，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形；

（2）如图，AD1交CB于点O．若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）证△ABA1是等边三角形，得∠AA1B＝∠A1BD1，由AC∥BD1，AC＝BD1，可得；（2）连接BD1．证△BCD1≌D1A1B，得四边形ABD1C是平行四边形，再证△OCD1≌△OBA（AAS），△DCO≌△ABO（SAS），可得DO＝OA．

证明：（1）如图1中，

∵∠BAC＝60°，BA＝BA1，

∴△ABA1是等边三角形，

∴∠AA1B＝60°，

∵∠A1BD1＝60°，

∴∠AA1B＝∠A1BD1，

∴AC∥BD1，

∵AC＝BD1，

∴四边形ABD1C是平行四边形．

（2）如图2中，连接BD1．

∵∠BCD1＝∠BAD1＝90°，BD1＝D1B，BC＝A1D1，

∴△BCD1≌D1A1B，

∴CD1＝BA1，

∵BA＝BA1，

∴AB＝CD1，∵AC＝BD1

∴四边形ABD1C是平行四边形，

∴CD1∥AB，CD1＝AB，

∠OCD1＝∠ABO，

∵∠COD1＝∠AOB，

∴△OCD1≌△OBA（AAS），

∴OC＝OB，

∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO，

∴△DCO≌△ABO（SAS），

∴DO＝OA．