Question

【题目】如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，过O作EF⊥AC，交AD于E，交BC于F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AECF是菱形
（2）若AB=3，BC=4，则菱形AECF的周长？

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=CO，AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

∵EF⊥AC，

∴∠AOE=∠COF=90°，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO，

∴OE=OF，

∵AO=CO，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=3，BC=AD=4，

AE=CE=x，则DE=4﹣x，在直角三角形EDC中由勾股定理可得：CE2=DE2+CD2，

即a2=（4﹣a）2+32，

解得：a= ，

∴菱形AECF的周长=4× =12.5

【解析】（1）利用已知条件和矩形的性质易证△AEO≌△CFO，进而可得四边形AECF是平行四边形，又因为EF⊥AC，所以可证明四边形AECF是菱形（2）设AE=CE=x，则DE=4﹣x，在直角三角形EDC中，利用勾股定理可求出x的值，进而可求出菱形的周长．
【考点精析】通过灵活运用矩形的性质，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等即可以解答此题．