Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C，E为O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D．

（1）求证：DC是⊙O切线；

（2）若AO＝6，DC＝3，求DE的长；

（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD﹣OA＝1.5，AC＝3，求图中阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）

【解析】

（1）连接OC，如图1，先证明∠1=∠3得到OC∥AD，再利用平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）连接BE交OC于H，如图1，利用圆周角定理得∠AEB=90°，易得四边形CDEH为矩形，则CD=EH=3，CH=ED，利用垂径定理得BH=3，然后利用勾股定理计算出OH后计算出CH，从而得到DE的长；

（3）连接OC，如图2，设⊙O的半径为r，利用角平分线的性质得CD=CF，则根据勾股定理得AD=AF，于是可计算出OF=1.5，再证明△ACF∽△ABC，利用相似比得到，解得r=3，接着在Rt△OCF中利用解直角三角形得到∠COF=60°，CF=，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分面积=S扇形BOC-S△OCB进行计算．

（1）连接OC，如图1，

∵AC平分∠EAB，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O切线；

（2）连接BE交OC于H，如图1，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵OC∥AD，

∴∠OHB=90°，

∴EH=BH，四边形CDEH为矩形，

∴CD=EH=3，CH=ED，

∴BH=3，

在Rt△OBH中，OH==3，

∴CH=6-3=3，

∴DE=3；

（3）连接OC，如图2，设⊙O的半径为r，

∵AC平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，

∴CD=CF，

∴AD=AF=AO+OF，

∵AD-OA=1.5，

∴AO+OF-OA=1.5，即OF=1.5，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAF=∠BAC，

∴△ACF∽△ABC，

∴，即，

解得r=-（舍去）或r=3，

在Rt△OCF中，cos∠COF=，

∴∠COF=60°，

∴CF=OF=，

∴图中阴影部分面积=S扇形BOC-S△OCB=-×3×=π-．