Question

【题目】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，DA、CB的延长线交于点P，连接AC、BD，BD=BC．

（1）证明：AB平分∠PAC；

（2）若AC是直径，AC=5，BC=4，求DC长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理证明；

（2）根据勾股定理求出AB，证明△APB∽△CPD，个相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

（1）证明：∵BD=BC，

∴∠BCD=∠BDC，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BCD=∠PAB，

∴∠PAB=∠BDC，

由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，

∴∠BAC=∠PAB，即AB平分∠PAC；

（2）∵AC是⊙O直径，

∴∠ABC=90°，

∴AB==3，

∵AB⊥PC，AB平分∠PAC，

∴AP=AC=5，PB=BC=4，

∵∠PAB=∠PCD，∠APB=∠CPD，

∴△APB∽△CPD，

∴=，即= ，

解得，CD=．