Question

【题目】如图，△ABC 中，AB=AC， ∠BAC ＜60°，将线段 AB 绕点 A逆时针旋转 60°得到点 D， 点 E 与点 D 关于直线 BC 对称，连接 CD，CE，DE．

（1）依题意补全图形；

（2）判断△CDE 的形状，并证明；

（3）请问在直线CE上是否存在点 P，使得 PA - PB =CD 成立？若存在，请用文字描述出点 P 的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）是等边三角形，证明见详解；（3）存在，点P在点C左边距离为CE长的位置，证明见详解.

【解析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）连接BD、CE，由旋转的性质及对称的性质利用SAS可证，易得，可知是等边三角形；

（3）将绕点B逆时针旋转得到，延长交直线CE于点P，连接BP，由旋转的性质及已知条件即可确定点P的位置.

解：（1）如图即为所求，

（2）是等边三角形.

如图，连接BD、CE，

由点D与点E关于直线BC对称可知BF垂直平分DE，

由旋转可知，

为等边三角形

在和中，

是等边三角形；

（3）存在，

如图，将绕点B逆时针旋转得到，延长交直线CE于点P，连接BP，

由（2）得是等边三角形，

由旋转可得，

所以直线CE上存在点 P，使得 PA - PB =CD 成立，点P在点C左边距离为CE长的位置.