Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点(不与点B重合)将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到，连接，下面有四个判断：

①当AP=BP时，∥CP；

②当AP=BP时，

③当CP⊥AB时，；

④长度的最小值是1．

所有正确结论的序号是( )

A.①③④B.①②C.①②④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及折叠的性质，易得∠AB′P=∠CPB′，即可得AB′∥CP；②由PA=PB′=PC=PB，可得点A，B′，C，B在以P为圆心，PA长为半径的圆上，然后由圆周角定理，求得答案；③当CP⊥AB时，易证得△ACP∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AP的长；④易得当B′在线段AC上时，AB′的长度有最小值，继而求得答案．

∵在△ABC中，∠ACB=90°，AP=BP，

∴AP=BP=CP，

由折叠的性质可得：CP=B′P，∠CPB′=∠BPC=(180°∠APB′)，

∴AP=B′P，

∴∠AB′P=′B′AP=(180°∠APB′)，

∴∠AB′P=∠CPB′，

∴AB′∥CP，故①正确；

②∵在△ABC中，∠ACB=90°，AP=BP，将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到，

∴PA=PB′=PC=PB，

∴点A，B′，C，B在以P为圆心，PA长为半径的圆上，

∵∠B′PC与∠B′AC是所对的圆心角和圆周角，

∴∠B′PC=2∠B′AC，故②正确；

③当CP⊥AB时，∠APC=∠ACB，

∵∠PAC=∠CAB，

∴△ACP∽△ABC，

∴，

∵在Rt△ABC中，AC==4，

∴AP==，故③错误；

④由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，

∴CB′长度固定不变，

∵在 AB′C中，AB′＞ACB′C，

∴当B′在线段AC上时， AB′有最小值，此时，AB′=ACB′C=43=1，故④正确．

故选C．