Question

【题目】如图， 是⊙O外一点， 为切线，割线 经过圆心 ．

（1）若 ，求 的半径长；
（2）作 的角平分线交 于 ，求 的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，设⊙O的半径长为r，在Rt△PCO中，PC= ，PO=12-r，CO=r，由勾股定理得： ，解得r=4；

（2）解：∵DP是∠BPC的角平分线，

∴∠CPB=2∠BPD，

∵OC=OB，

∴∠COP=2∠OBC=2∠OCB，在△PCB中，∠CPB+∠B+PCB=180°，

∵∠PCO=90°，

∴∠CPO+∠COP=45°，

∴∠DPB+∠B=45°，

∴∠CDP=∠DPB+∠B=45°．

【解析】【（1）由已知PC是⊙O的切线，添加辅助线连接OC，在Rt△PCO中，利用勾股定理，建立方程即可求出圆的半径。
（2）根据角平分线的定义得出∠CPB=2∠BPD，再根据等腰三角形的性质及三角形的外角的性质证出∠COP=2∠OBC=2∠OCB，然后根据三角形的内角和定理及等量代换即可求得结果。
【考点精析】本题主要考查了三角形的内角和外角和三角形的外角的相关知识点，需要掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角才能正确解答此题．