【题目】如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的边 在 轴上，顶点 在抛物线 上，且抛物线交 轴于另一点 ．

（1）则 = ， =；
（2）已知 为 边上一个动点（不与 、 重合），连结 交 于点 ，过点 作 轴的平行线分别交抛物线、直线 于 、 ．
①求线段 的最大值，此时 的面积为；
②若以点 为圆心， 为半径作⊙O，试判断直线 与⊙O的能否相切，若能请求出 点坐标，若不能请说明理由．

参考答案：

【答案】
（1）,
（2）解：①由点O（0，0）、B（4，2）两点可得直线OB的解析式为 ，

设点E的坐标为（m，2），则点F的坐标为（m， ），点G的坐标为（m， ），∴FG=（ ）- = ，

∴当m=2时，线段FG的最大值为1．

此时过E（2，2）、A（4，0）两点直线AE的解析式为y=-x+4，

∴直线OB与直线AE的交点P的坐标为（ ， ），

∴ 边FG边上的高为 ，

∴ 的面积为 ；②直线AE能与⊙O相切，当直线AE与⊙O相切时，则OB⊥AE，∴△ABE∽△OAB，

∴ ，即 ，

∴BE=1，CE=3，

∴点E的坐标为（3，2）．


【解析】（1）把点B与点D坐标代入抛物线解析式，建立方程，求出a与b的值即可。
（2）①先求出直线OB的解析式，设出E坐标为（m，2），根据EG与y轴平行，表示出F与G坐标，进而表示出FG，，列出FG关于x的函数解析式，利用二次函数性质求出FG最大值，以及此时m的值，确定出E坐标，利用待定系数法求出直线AE解析式，与直线OB联立求出交点P坐标，进而确定出此时三角形PFG面积即可；②当AE⊥OB，垂足为P时，以点O为圆心，OP为半径作 O，直线AE与 O相切，如图所示，根据直线OB解析式确定出直线AE解析式，进而求出垂足P坐标,再证明△ABE∽△OAB，根据相似三角形的性质求出AE、BE的长，即可求出点E的坐标。
【考点精析】关于本题考查的二次函数的最值和相似三角形的判定与性质，需要了解如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．

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