Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx-3经过A（-1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于C点，

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，抛物线的对称轴上有一点P，且点P在x轴下方，线段PB绕点P顺时针旋转90°，点B的对应点B′恰好落在抛物线上，求点P的坐标；
（3）如图②，直线y= x+ 交抛物线于A、E两点，点D为线段AE上一点，连接BD，有一动点Q从B点出发，沿线段BD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒钟2个单位的速度运动到E，问：是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：将A（-1,0）、B（3,0）代入抛物线y=ax2+bx-3可得

，解得

∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3.

（2）

解：作B′M⊥对称轴，垂足为M，

∵∠BPB′=90°,

∴∠BPN+∠B′PM=90°，

∵∠BPN+∠PBN=90°，

∴∠PBN=∠B′PM，

∵∠BNP=∠PMB′=90°，PB=PB′，

∴△BNP≌△PMB′，

∴BN=PM，PN=MB′，

由A（-1,0）、B（3,0）得对称轴为 x=1，

∴BN=3-1=2,

设P（1，m），∴B′（1-m，m-2）,

将B′（1-m，m-2）代入y=x2-2x-3，得（1-m）2-2（1-m）-3=m-2,

解得m1=-1,m2=2，

∵点P在x轴下方，∴m=-1，

∴P（1，-1）.

（3）

解：存在.∵直线y= 与y轴的交点为：G(0, ),

与x轴的交点为：A(-1，0)，

∴tan∠GAO= ，∴∠GAO=30°，

过点E作EF∥x轴，过点D作DF⊥EF，垂足为F，

∴∠FED=∠GAO=30°，∴DE=2DF，DF= ，

设点Q的运动时间为t秒，则：t= ，

∴当BD⊥x轴时，此时，B、D、F在同一直线上，且BF⊥EF，

根据垂线段最短可得：此时BD+DF最小，

此时点Q的运动时间t秒最少，如下图：

将x=3代入y= 得y= ,

∴D（3， ）.

【解析】（1）将A（-1,0），B（3,0）代入抛物线解析式，列得方程组解出a，b即可；（2）作B′M⊥对称轴，垂足为M，证明△BNP≌△PMB′，可设P（1，m），用m表示出点B′的坐标，将其代入抛物线解析式，即可求得m；（3）由题可知要求“t= ”的最小值；过点E作EF∥x轴，过点D作DF⊥EF，垂足为F，由直线y= 易证得∠FED=∠GAO=30°，则可得DF= ，即 ，则当B，D，F三点一线时，BD+DF最小.
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象和二次函数的性质，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．