Question

【题目】如图，在梯形中，，．，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t（秒）

（1）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）若四边形为平行四边形，求运动时间t；

（3）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】(1) ； (2) ； (3) 或者t=3.6

【解析】

(1) 根据可得，再根据三角形面积的求法，求出S与t之间的函数关系式即可；

(2)根据平行四边形的判定定理得到AP=BQ时四边形ABQP是平行四边形，再求出t即可得到答案；

(3)根据题意分三种情况（PB=PQ，PQ=BQ，PB=BQ），再根据等腰三角形的性质，分类讨论求出t即可得到答案；

解：(1) ∵BC=20，动点Q以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴CD的长度是以BQ为底边的高的长度，

∴；

(2)如下图：

由题意得：，，

∵，

∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

即：，

解得：；

(3)情况1：如下图：作PN⊥BC与点N，

当PB=PQ时，

NQ=BN（三线合一定理），

∵NQ=PD－CQ=2t－t=t，

∴BN=t，BQ=2t，

∵BC－BQ=CQ

∴20－2t=t，

解得：；

情况2：如图，作PN⊥BC与点N，

当PQ=BQ时，

NQ=PD－CQ=2t－t=t，

PQ=BQ=20－t，

在直角三角形NPQ中，

（勾股定理），

∴，

解得t=3.6；

情况3：如图，

当PB=BQ时，

BN=20－2t，

BP=BQ=20－t，

在直角三角形BNP中，

（勾股定理），

∴，

整理得：

，

故方程无解，综上可得：或者t=3.6时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．