Question

【题目】已知：关于x的二次函数y=x2+bx+c经过点（﹣1，0）和（2，6）．

（1）求b和c的值．

（2）若点A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n，使？若存在，请求出n；若不存在，请说明理由．

（3）若点P是二次函数图象在y轴左侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于C、D两点，若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，请求出所有符合条件点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）n=3或n=-5 （2） (,-) 或(,-)

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）求出y1，y2，y3代入解方程即可解决问题，注意运算技巧．

（3）当D为直角顶点时，由图象可知不存在点P，使得△PCD为直角三角形，当C为直角顶点，CD为直角边时，作PE⊥OC于E．分两种情形①CD=2PC，②PC=2CD，

设直线y=-2x向下平移m个单位，则直线CD解析式为y=-2x-m，求出点P坐标（用m表示），代入抛物线解析式即可解决问题．

试题解析：（1）把（-1，0）和（2，6）代入y=x2+bx+c中，

得，解得，

∴b=1，c=0．

（2）由题意y1=n2+n，y2=（n+1）2+（n+1），y3=（n+2）2+（n+2），

∵，

∴，

∴，

∴，

整理得n2+3n-10=0，

解得n=2或-5．

经过检验n=2和-5是分式方程的解．

（3）当D为直角顶点时，由图象可知不存在点P，使得△PCD为直角三角形，当C为直角顶点，CD为直角边时，作PE⊥OC于E．

设直线y=-2x向下平移m个单位，则直线CD解析式为y=-2x-m，

∴点D坐标（0，-m），点C坐标（-，0），

∴OD=m，OC=，

∴OD=20C，

∵△PCD与△OCD相似，

∴CD=2PC或PC=2CD，

①当CD=2PC时，

∵∠PCD=90°，

∴∠PCE+∠DCO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，

∴∠PCE=∠CDO，

∵∠PEC=∠COD=90°，

∴△COD∽△PEC，

∴，

∴EC=，PE=，

∴点P坐标（-m，-），代入y=x2+x，

得-=m2-m，解得m=或（0舍弃）

∴点P坐标（-，-）．

②PC=2CD时，由，

∴EC=2m，PE=m，

∴点P坐标（-m，-m），代入y=x2+x，

得-m=m2-m，

解得m=和（0舍弃），

∴点P坐标（-，-）．