Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：CE＝AD；

（2）当D在AB中点时．

①求证：四边形BECD是菱形；
②当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，理由见解析；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由见解析．

【解析】试题分析：(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；(3)求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．

试题解析：(1)∵DE⊥BC， ∴∠DFB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE=AD；

(2)四边形BECD是菱形， 理由是：∵D为AB中点， ∴AD=BD， ∵CE=AD，

∴BD=CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB=90°，D为AB中点，

∴CD=BD， ∴四边形BECD是菱形；

(3)当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是： 解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°， ∴AC=BC， ∵D为BA中点， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB=90°，

∵四边形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形， 即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．