Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx过A（﹣4，0），B（﹣1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；

（3）点P是抛物线上一动点，且位于x轴的下方，当△ABP的面积为15时，求出点P的坐标；

（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点N的坐标．

　　　　

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣4x；（2）3；（3）点P坐标为（﹣6，﹣12）或（1，﹣5）；（4）N点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．

【解析】分析：

（1）将点A、B的坐标代入y=ax2+bx中列出关于a、b的方程组，解方程组求得a、b的值即可得到抛物线的解析式y=﹣x2﹣4x；

（2）将（1）中抛物线的解析式化为“顶点式”得到抛物线的对称轴，结合点B的坐标即可求得点C的坐标，这样由A、B、C三点的坐标即可求得S△ABC的值；

（3）如下图1，过点P作PF垂直x轴，交直线AB于点F，先由A、B的坐标求得直线AB的解析式y=x+4，设点P的横坐标为m，则点P的坐标为（m，﹣m2﹣4m），点F的坐标为（m，m+4），由此可得PF= m2+5m+4，然后由S△PAB=S△PFB-S△PFA=15可得：×（m2+5m+4）×[(-1-m)-(-4-m)]=15，解此方程求得m的值即可得到点P的坐标；

（4）当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分点C、M、N分别为直角顶点三类情况进行讨论：I、①M为直角顶点，且M在x轴上方；②M为直角顶点，且M在x轴的下方；II、①N为直角顶点，且N在y轴的右侧；②N为直角顶点，且N在y轴的左侧；III、C为直角顶点；根据上述情况画出对应的图形，再结合已知条件进行分析解答即可.

详解：

（1）把点A（﹣4，0），B（﹣1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，

得，解得，

∴抛物线表达式为y=﹣x2﹣4x；

（2）∵y=﹣x2+4x=﹣（x+2）2+4，

∴抛物线对称轴为x=﹣2，

∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为（﹣1，3），

∴C（﹣3，3），

∴BC=2，

∴S△ABC=×2×3=3；

（3）如图1，过P点作PF垂直x轴，交直线AB于点F，

∵A（﹣4，0），B（﹣1，3），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

则，解得，

即直线AB的解析式为y=x+4，

设点P（m，﹣m2﹣4m），则F（m，m+4），

∴PF=m+4+m2+4m=m2+5m+4．

∴S△PAB=×（m2+5m+4）×3=15，

m2+5m﹣6=0，

解得m1=﹣6，m2=1，

∴点P坐标为（﹣6，﹣12）或（1，﹣5）；

（4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：

①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，

则△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴ON=OH+NH=2，

∴N（﹣2，0）；

②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，

作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，

∵OH=1，

∴ON=NH﹣OH=5﹣1=4，

∴N（4，0）；

③以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，

同理得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴ME=NH=DN=3，

∴ON=3﹣1=2，

∴N（2，0）；

④以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，作辅助线，如图5，

同理得ME=DN=NH=3，

∴ON=1+3=4，

∴N（﹣4，0）；

⑤以C为直角顶点时，由于点C（-3，3）到x轴的距离和到抛物线对称轴x=-2的距离不相等，所以此时不能构成满足条件的等腰直角三角形；

综上可知当△CMN为等腰直角三角形时N点坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．