Question

【题目】在三角形ABC中，点D在线段AB上，DE∥BC交AC于点E，点F在直线BC上，作直线EF，过点D作直线DH∥AC交直线EF于点H.

（1）在如图1所示的情况下，求证:∠HDE=∠C；

（2）若三角形ABC不变，D，E两点的位置也不变，点F在直线BC上运动.

①当点H在三角形ABC内部时，直接写出∠DHF与∠FEC的数量关系；

②当点H在三角形ABC外部时，①中结论是否依然成立？请在图2中画图探究，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①∠DHF＋∠FEC=180°；②当点H在三角形ABC外部时，∠DHF=∠FEC，理由见解析.

【解析】

（1）根据“平行线的性质”结合“已知条件”分析证明即可；

（2）①如图1，当点H在△ABC内部时，由DH∥AC可得∠FEC=∠DHE，结合∠DHE+∠DHF=180°，即可得到：此时∠DHF+∠FEC=180°；

②当点H不在△ABC内部时，分点H在直线DE的上方和下方两种情况画出图形，如图2-1和图2-2所示，再根据“平行线的性质”结合“已知条件”进行分析证明可得：此时∠DHF=∠FEC.

（1）∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠C，

∵DH∥AC，

∴∠HDE=∠ADE.

（2）①当点H在△ABC内部时，∠DHF＋∠FEC=180°，理由如下：

∵DH∥AC，

∴∠FEC=∠DHE，

又∵∠DHE+∠DHF=180°，

∴∠DHF+∠FEC=180°；

②当点H在△ABC外部时，①中结论不成立，理由如下：

ⅰ).如图2-1，当点H在直线DE上方时，

∵DH∥AC，

∴∠DHF=∠FEC.

ⅱ).如图2-2，当点H在直线DE下方时，

∵DH∥AC，

∴∠DHF=∠FEC.

综上所述，当点H在△ABC外部时，∠DHF=∠FEC.